Чин мин: Chin Min (Чин-Мин) — линия косметики STYX

Then Ching got sick and I had to work.

Admiral Ching, it’s clearly written here: huge expenses, no profit.

Ching Ming Festival, pay respect to the ancestors

That is why you consult the I ching. .. to glimpse what lies ahead.

The current headquarters director is Lin Ching (林青).

I’m sorry,

I’ll miss you most, brother Ching

Nobody’s going to hurt you, Ching.

Hobart Park Kings, Wa Ching Council and the 520 Mafia.

Widow

10 most severe punishments in Ching Dynasty

The fox flag became the emblem of the new admiral, the widow Ching.

Willis Augustus «Ching» Lee Jr. (May 11, 1888 — August 25, 1945) was a vice admiral of the United States Navy during World War II.

As revolutionists are killing Ching officials the authorities are making arrests

Ching, what’s your plan after you’ve made enough money?

In 2006, Ching relocated to Houston when the Earthquakes team became the Houston Dynamo.

Julia Ching writes that the «evil cult» label was defined by an atheist government «on political premises, not by any religious authority», and was used by the authorities to make previous arrests and imprisonments constitutional.

No, Ching, I promised I’d meet her at the altar at the stroke of 12:00.

Лосьон Чин Мин (Chin Min) Стикс с мятой и чайным деревом

Пак Чи Мин — фото, биография, личная жизнь, новости, группа BTS 2021

Биография

Не зря в 2018 году вокалист популярного корейского септета Beyond The Scene Пак Чи Мин попал в десятку самых обсуждаемых музыкантов в мире. Ведь СМИ и фанатов интересует, кажется, все, что связано с их любимчиком, а заголовки пестрят всевозможными провокационными подробностями. «Чи Мин едва не потерял штаны на сцене», «Пак упал на сцене во время выступления», «Как целуется исполнитель?», «Певец в прошлом был девушкой?» – и это только начало списка. А что поделать – слава есть слава.

Детство и юность

В середине 2-го осеннего месяца, 13 числа 1995-го, в городе Пусан, который называют морской столицей Южной Кореи, в семье Пак появился первенец Чи Мин (через 2 года у него родился младший брат Джихён). Столь поэтическим именем, в переводе на русский язык означающим «моя мудрость будет выше небес», наградил внука счастливый дедушка.

Поэтому понятно, почему, став членом бойз-бенда, парень не стал придумывать себе сценический псевдоним. Хотя варианты рассматривались различные – и Baby J, и Baby G, и Young Kid.

Родители, владевшие собственным кафе на побережье, старались окружить детей атмосферой любви и понимания. И поэтому, заметив тягу старшего сына к искусству, отдали его в танцевальную академию. Они не стали отговаривать, а всячески поддержали, когда мальчик объявил взрослым, что мечтает стать звездой.

Чи Мин (Чимин) окончил начальную школу Ходонга и среднюю – Ёнсана. С 8-го класса он с головой ушел в хореографию, изучая поппинг и локинг и приставая к преподавательнице с неизменными вопросами о том, как поскорее накачать мышцы. Позднее овладел контемпом на таком уровне, что его прозвали лучшим учеником, владеющим современным стилем.

instagram.com/p/BnJ38McnNsK/?utm_source=ig_embed&utm_medium=loading» data-instgrm-version=»12″/>

Также за плечами певца – Seoul Cyber University и две высшие школы искусств. В одну из последних он поступил, вдохновленный примером кумира Rain (он же Чон Джихун).

Что касается интересных фактов ранней биографии, то известно, что в детстве мальчик, влюбленный в «Галактический экспресс 999», мечтал стать героем с механическим телом. Или, будучи маленьким, посчитал, что у собаки настолько красивые ноги, что ухватился за них. За это домашнее животное и наградило обидчика следами зубов. В средней школе одноклассники прозвали его Ddochi за внешнюю схожесть с щенком.

Музыка и танцы

Постоянно развивая свои танцевально-музыкальные способности, парень штурмовал всевозможные кастинги и записывался на прослушивания. На одном из них ему удалось настолько очаровать публику и суровое жюри умениями и способностями, что его пригласили в Big Hit Entertainment. И меньше чем через год Пак оказался в хип-хоп-коллективе BTS. Сюда он попал, как на подножку уходящего поезда, одним из последних.

Пак Чи Мин и BTS — No More Dream

Поэтому и усилий приходилось прикладывать больше остальных, да настолько усердных, что коллеги даже переживали за физическое здоровье парня. Его дебютной песней в составе группы стала No More Dream 13 июня 2013-го.

Поговаривали, когда педагог по танцам сообщил, что во время исполнения данной песни Паку необходимо оголить свой торс, тот пришел в уныние, так как не любил раздеваться на публике. Но со временем страх ушел, и теперь поклонницы могут спокойно лицезреть рельефное тело их идола. Благо, рост (173 см) и вес (61 кг) позволяют.

Пак Чи Мин и RM

В начале творческой карьеры вокалист был сильно озабочен тем, как он выглядит. И поэтому старался всегда накладывать грим или же, в противном случае, прятать лицо без макияжа от камер. Сейчас юный метросексуал не представляет себя без двух вещей – подводки для глаз и блеска для губ.

В 2016-м его первые сольные композиции с дебютных сборников, абсолютно не похожие друг на друга по звучанию, разместились в топ-20 самых скачиваемых в Великобритании и набрали больше 50 млн прослушиваний на сервисе Spotify. Копилку достижений дополнило и попадание в тренды в ходе гастрольного парижского тура. После оглушительного успеха на Пака посыпались приглашения на съемки в телевизионных программах.

Ким Тхэ Хён и Пак Чи Мин

Параллельно с музыкальной карьерой в группе Чи Мин записывал каверы на популярные синглы звезд, например, Джастина Бибера, его бывшей возлюбленной Селены Гомес в тандеме с Чарли Путом.

Известность молодого исполнителя достигла таких масштабов, что ярый поклонник, заплатив большую сумму, решился лечь под нож, чтобы внешне стать похожим на своего кумира. Фанаты обожают певца не только за его вокальные данные, невероятную грацию и пластику, но и за участие в благотворительности. В течение 3 лет, вплоть до закрытия заведения, парень снабжал родную начальную школу формой для учащихся.

Личная жизнь

При такой бешеной популярности, как у Чимина, неудивительно, что танцор всегда в центре внимания. Помимо новых хитов, публику интересуют и подробности личной жизни любимца. Известно, что ему приписывали несколько романов с девушками-коллегами.

Первой попала в список Хан Сынён из Kara, чей восторженный комментарий по поводу природной одаренности Пака положил начало слухам об их отношениях. Однако информация оказалась ложной. Позднее новое обсуждение симпатий парня вызвали совместные видео с одной из участниц Red Velvet, но и здесь ничего указывающего на близкую связь не оказалось.

Пак Чи Мин в 2019 году

Сам Пак нередко рассказывал о том, как должна выглядеть его женщина: длинноволосая, неглупая, ниже его ростом, с «небольшими странностями». СМИ также писали, что до музыкального дебюта у него была дама сердца, но пара распалась.

Также известно, что Чимин был страстно и несчастно влюблен в школьные годы и в присутствии объекта обожания вел себя как в той песне – «то краснею, то бледнею». Кстати, по заявлению Чон Хо Сока, главной отличительной чертой «сослуживца» является верность, по словам Мин Юнги и Чон Чонгука – улыбающиеся глаза.

Пак Чи Мин сейчас

В преддверии Нового 2019 года «знойный азиат», как Пака успели окрестить многочисленные фанатки, преподнес слушателям личный подарок.

Свет увидела его собственная сольная композиция, выпущенная вне сотрудничества с коллективом, но в создании ее парни охотно участвовали. Только за 24 часа Promise установила рекорд на SoundCloud.

Пак Чи Мин — Promise

За кулисами Golden Disc Award Чи Мин продемонстрировал, как нужно двигаться под этот сингл – не исключено, что позднее танцевальные па попадут и в видеоклип.

И сразу после этого со всех сторон посыпались предположения, что Чи Мин уходит из группы BTS. Но сам певец покидать второй родной дом, как он называет бенд, не собирался, а готовился к выпуску нового сборника Bangtan Boys и борьбе за «Грэмми». За жизнью любимца посредством фотографий фолловеры следят в «Инстаграме».

Дискография

• 2013 – 2Cool 4Skool
• 2013 – O!RUL8,2?
• 2014 – Skool Luv Affair и Skool Luv Affair (Special Edition)
• 2014 – Dark & Wild
• 2014 – Wake Up (Standard Edition)
• 2015 – The Most Beautiful Moment in Life, Part 1 и 2
• 2016 – Wings
• 2016 – The Most Beautiful Moment in Life: Young Forever
• 2016 – Youth
• 2017 – You Never Walk Alone
• 2017 – Love Yourself Her
• 2018 – Love Yourself Tear
• 2018 – Love Yourself Answer
• 2018 – FACE YOURSELF
• 2019 – Map Of The Soul: Persona

Новый пропагандистский стиль в КНДР: что стоит за слезами Ким Чен Ына | События в мире — оценки и прогнозы из Германии и Европы | DW

По официальным данным, ни один житель Северной Кореи не заразился коронавирусом. Однако факт пандемии и обрушившиеся в последние месяцы на КНДР стихийные бедствия побудили лидера страны Ким Чен Ына публично проявить человечность. В ночь на 10 октября, во время выступления на параде по случаю 75-летия Трудовой партии Кореи (ТПК), на его глазах навернулись слезы. Это произошло, когда северокорейский диктатор поблагодарил военнослужащих за их работу по ликвидации последствий тайфунов и наводнений и признал, что не всегда оправдывал оказанное ему народом доверие, «высокое, как небо, и глубокое, как море». «Мне очень жаль», — цитирует его южнокорейское издание Korea Times.

Эмоциональное выступление и извинения Ким Чен Ына внесли неожиданный оттенок в военный парад и демонстрацию на нем двух новейших межконтинентальных баллистических ракет, несколько смягчив впечатление от показа военной мощи, адресованного зарубежным странам. Однако некоторые аналитики, специализирующиеся на Северной Корее, говорят о тщательной инсценировке выступления Ким Чены Ына, которое, по их мнению, отражает общий перелом в северокорейском пропагандистском дискурсе.

В отличие от своего отца и деда, третий Ким больше не позволяет изображать себя богоподобным отцом нации — он выбирает образ традиционного политика, сочувствующего своему народу. «Речь на параде укрепила имидж Кима как компетентного, харизматичного вождя, не лишенного человечности», — констатирует эксперт по Северной Корее Ли Мин Ён Рэйчел.

Попытки создать новый имидж КНДР

Нэнси Сноу из Киотского университета зарубежных исследований, занимающаяся изучением пропаганды, считает, что власти в Пхеньяне, беря на вооружение новый стиль, преследуют те же цели, что и прежде. «Северная Корея стремится к престижу и защищает честь нации», — указывает Сноу.

КНДР нравится показывать свою военную мощь. Новая МБР на параде в Пхеньяне, 10 октября

Для этого, по ее словам, руководство КНДР использует различные методы — от демонстрации ядерного оружия до дозированных проявлений открытости, как это произошло, например, на зимних Олимпийских играх 2018 года в южнокорейском Пхёнчхане, когда можно было наблюдать некоторое потепление отношений между Южной Кореей и КНДР.

«Тактическое изменение состоит в том, чтобы показать открытость, создать впечатление, что этот человек похож на нас», — объясняет Сноу последнее выступление северокорейского лидера. Таким способом КНДР хочет показать, что достойна места за международным столом, полагает эксперт.

Западная поп-культура и ростки капитализма в КНДР

На самом деле, отмечают аналитики, государственная пропаганда, следуя желанию Ким Чен Ына, уже достаточно давно была нацелена на то, чтобы представить его и рядовых северных корейцев современными и открытыми миру людьми. Вскоре после прихода молодого лидера к власти, около девяти лет назад, его показали по государственному телевидению во время выступления местной, состоящей только из девушек группы Moranbong.

Северокорейское новостное агентство KCNA любит публиковать подобные снимки

Вместо того, чтобы петь хвалебные оды вождю, группа исполнила основную музыкальную тему из фильмов про Рокки. При этом на сцену вышли люди в нарядах Микки и Минни-Маус. Сам третий Ким часто носит европейский костюм и галстук вместо френча в стиле Мао, а выступая с новогодним обращением, предпочитает неформальную обстановку — уютное кресло в своем рабочем кабинете.

Построенные при нем престижные объекты — высотные жилые дома, больницы, парки развлечений, аквариумы и горнолыжные курорты — призваны удовлетворить страстное желание северокорейского среднего и высшего класса, куда входят партработники и высокопоставленные военные, жить так, как люди их положения живут в Китае или в Южной Корее.

По этой же причине нынешний режим терпит частные рынки, где можно купить зарубежные брендовые товары, и продвигает государственные дома торговли и супермаркеты, а также получастные рестораны. Символом новой эпохи многие северокорейцы сочли и переход на смартфоны — даже в том случае, если у них нет доступа к глобальному интернету.

Пропаганда КНДР в социальных сетях

Пропаганда с таким же энтузиазмом продвигает новый образ Северной Кореи сообщениями о новых образцовых проектах, с каким раньше сообщалось о строительстве плотин, заводов по производству стали и автомагистралей. При этом правительственный аппарат уже какое-то время использует и социальные сети.

Все реже на телеэкране появляется легендарная ведущая новостей, Герой труда Ли Чхун Хи, в национальном корейском костюме читающая сообщения голосом, переполненным чувств. Тем временем ведущая Youtube-канала Ун А в удобной одежде свободного покроя бегает по супермаркету с заполненными товарами полками и пытается, интервьюируя покупателей, доказать, что санкции ООН не привели к дефициту продуктов в КНДР.

Ее видео и фото из пхеньянских пиццерий вытесняют в соцсетях снимки с военных парадов и распространяются за рубежом, прежде всего, через китайские мессенджеры. У экспертов по Северной Корее нет единого мнения о воздействии на другие страны этого нового создаваемого имиджа КНДР. «Запад не устоял перед атакой обаянием со стороны Северной Кореи, для этого было достаточно всего лишь улыбки сестры Ким Чен Ына», — замечает Нэнси Сноу.

Мартин Уильямс, эксперт по Северной Корее из американского Центра Стимсона, называет новый стиль северокорейского руководства «примечательным», однако при этом сохраняет скепсис. «В действительности мы видим только жизнь богачей из Пхеньяна, у которых хватает еды», — указывает Уильямс. Роза Парк из вашингтонского Комитета по правам человека в Северной Корее также в данном случае настроена критически: «В этих видеороликах много деталей из повседневной жизни, но это все еще пропаганда».

Пир во время коронавируса

В любом случае перед северокорейским агитпропом стоит все та же непростая задача — скрыть ошибки и упущения руководства страны в то время, как в нее просачивается все больше информации из-за рубежа. Одним из таких вызовов стало строительство ударными темпами новой больницы в Пхеньяне.

Встреча Ким Чен Ына с Дональдом Трампом дала мощный импульс северокорейской пропаганде

Весной Ким Чен Ын публично потребовал, чтобы больницу возвели за 200 дней и завершили объект как раз к празднованию 75-летия ТПК 10 октября. Государственные СМИ старательно освещали ход строительства. Однако к указанному сроку закончен был только фасад здания. Фотографий внутреннего убранства больницы до сих пор не представлено, пишут аналитики сайта 38north.org, специализирующегося на северокорейской проблематике. 

В результате накануне празднования юбилея ТПК официальные отчеты все больше фокусировали внимание на усилиях, прилагаемых армией и партией для ликвидации последствий природных катастроф. Тем самым руководство КНДР попыталось сохранить лицо, подчеркивало южнокорейское новостное агентство Yonhap. А лидер Северной Кореи Ким Чен Ын в своем выступлении на параде сделал акцент на устранении последствий наводнений и тайфунов, а о новой больнице не обмолвился и словом.

Смотрите также:

• Ракетные и ядерные испытания КНДР: проект трех поколений Кимов

  Ракеты и бомбы Северной Кореи

  Ракетные запуски в КНДР в последние годы заметно участились. Пхеньян испытывает баллистические ракеты вопреки резолюциям ООН и постепенно ужесточающимся санкциям. Эксперты даже не исключают начала военных действий на Корейском полуострове.

• Ракетные и ядерные испытания КНДР: проект трех поколений Кимов

  Начало — во времена позднего Ким Ир Сена

  Хотя количество ракетных испытаний выросло именно в последние четыре года, первые из них были проведены еще в 1984 году — при тогдашнем северокорейском лидере Ким Ир Сене. По данным Nuclear Threat Initiative, за последние 10 лет его правления КНДР провела 15 испытаний, причем с 1986 по 1989 годы включительно запусков не было.

• Ракетные и ядерные испытания КНДР: проект трех поколений Кимов

  Ким Чен Ир: начало ядерных испытаний

  Ким Чен Ир, сын Ким Ир Сена, возглавивший страну в июле 1994 года, также не остался в стороне. За 17 лет его правления были проведены 16 ракетных испытаний, хотя почти все они пришлись на два года — 2006-й (7 пусков) и 2009-й (8). Это меньше, чем за первые 8 месяцев 2017 года. Однако именно на правление Ким Чен Ира пришлись два первых испытания Пхеньяном ядерного оружия — в 2006 и 2009 годах.

• Ракетные и ядерные испытания КНДР: проект трех поколений Кимов

  Ким Чен Ын: небывалая активность

  При сыне и внуке прежних правителей активность КНДР в ракетной сфере достигла небывалого уровня. За 6 лет Пхеньян осуществил уже 84 запуска баллистических ракет. Не все из них были удачными, в ряде случаев ракеты взрывались на старте или в полете.

• Ракетные и ядерные испытания КНДР: проект трех поколений Кимов

  В сторону Гуама

  В начале августа 2017 года появились сообщения, что армия Северной Кореи разрабатывает план запуска четырех баллистических ракет средней дальности в направлении военной базы США на острове Гуам в Тихом океане. Реакция президента США Дональда Трампа была предсказуемо жесткой и угрожающей.

• Ракетные и ядерные испытания КНДР: проект трех поколений Кимов

  Над территорией Японии

  29 августа 2017 года КНДР произвела очередные испытания, причем на этот раз ракета пролетела над территорией Японии — островом Хоккайдо. Ким Чен Ын заявил, что запуск ракеты в сторону Японии является подготовкой к войне в Тихом океане.

• Ракетные и ядерные испытания КНДР: проект трех поколений Кимов

  Шестой ядерный

  Через несколько дней после запуска ракеты над Японией КНДР объявила, что успешно провела испытание ядерного оружия, уточнив, что речь идет о водородной бомбе. Этот был уже шестой подземный ядерный взрыв, проведенный Пхеньяном. Эксперты оценили мощность бомбы примерно в 100 килотонн.

• Ракетные и ядерные испытания КНДР: проект трех поколений Кимов

  Заседания и осуждающие заявления

  Почти после каждого северокорейского испытания ракетного или ядерного оружия на экстренные заседания собираются советы безопасности разных стран и Совбез ООН. Но эффекта они, как и осуждающие заявления мировых лидеров, пока не приносят.

  Автор: Григорий Аросев

i} B $ — линейная комбинация строк матрицы $ B $.
$ 2. $ Пространство строк $ AB \ substeq $ Пространство строк $ B $. $ \ qquad $ $ 3. $ Пространство столбцов $ AB \ substeq $ Пространство столбцов $ A $.
$ 4. $ Если $ \ mathbf {a_i} $ — вектор-столбец, то $ A \ mathbf {a_i} $ — линейная комбинация столбцов $ A $.
5 долларов США. \ operatorname {rank} (A \ color {# B8860B} {B}) \ color {# B8860B} {\ le} \ operatorname {rank} \ color {# B8860B} {B} \ qquad \ qquad $ $ 6. \ operatorname {rank} (AB) \ leq \ operatorname {rank} A $.
В общем, $ x \ leq a \ text {&} x \ le b \ означает x \ le \ min \ {a, b \} $.
Итак, $ 5 \, \ & \, 6 $, $ \ operatorname {rank} (AB) \ leq \ min \ {\ operatorname {rank} A, \ operatorname {rank} B \} $.

$ \ bbox [2px, граница: 2px сплошной серый] {\ text {Доказательство # 5:}} \; $ Ранг матрицы — это размер ее строки. Необходимо показать:
Если $ \ operatorname {rowsp} (AB) \ substeq \ operatorname {rowsp} (B) $, то $ \ operatorname {dim rowspace} (AB) \ le \ operatorname {dim rowspace} (B). $
Выберите основу для $ \ operatorname {rowsp} (AB) $. Допустим, в этом базисе есть $ p $ векторов.
По $ \ # 2 $, пространство строк $ AB \ substeq $ пространство строк $ B $, $ \ color {green} {\ text {, поэтому все эти $ p $ векторы также $ \ in \ operatorname {rowsp} (B) $}} $. Более того, они должны быть линейно независимыми (далее l-ind).
$ {\ Large {\ color {красный} {[}}} \; $ Поскольку размерность пространства $ = $ максимальное количество l-индексов в этом пространстве, $ \; {\ Large {{\ color {red} {]}}}} $
и $ \ color {green} {\ text {$ \ operatorname {rowsp} (B) $ имеет векторы $ \ ge p $ l-ind} } $, таким образом, $ \ operatorname {dim rowspace} (B) \; \ ge \; \ operatorname {тусклое пространство строк} (AB) = p.T} = \ operatorname {rank} (A) $.

$ Q1. $ Пожалуйста, поясните приведенное выше доказательство 5 $? Я сбита с толку. Какая стратегия?

$ Q2. $ На P209 Пул определяет размерность как количество векторов в базисе.
Так разве красная скобка не должна относиться к основе? Если да, то почему в доказательстве просто не объявляется:
По $ 2 $ основа для $ \ operatorname {rowsp} (AB) $ может быть повторно использована в качестве основы для $ \ operatorname {rowsp} (B). $?

$ Q3. $ Как можно было бы инвертировать $ AB $ и применить $ \ # 5 $ (ключевую стратегию) для №6?

$ 4 кв.$ Какая интуиция стоит за результатами 5 долларов и 6 долларов? Буду признателен за фотки.

Источники: P147, 4.48, Schaum’s Outline to Lin Alg , web.mit.edu/18.06/www/Spring01/Sol-S01-5.ps

линейная алгебра — Почему минимальный ранг матрицы, которая соответствует графу G, больше или равен мощности максимального стабильного набора.

Правильное неравенство — обратное, что объясняет, почему вам трудно его доказать.

Если $ S $ — независимый (или стабильный) набор вершин в $ G $, а $ B $ — любая матрица, подходящая для $ G $, то возьмем $ | S | \ times | S | $ подматрица в $ B $, соответствующая вершинам в $ S $.Эта подматрица должна быть невырожденной диагональной матрицей, поскольку $ B_ {ii} \ ne 0 $ для всех $ i \ in S $ и $ B_ {ij} = 0 $ для всех $ i, j \ in S $ с $ i \ ne j $.

В частности, если $ B $ имеет $ | S | \ times | S | $ невырожденная матрица внутри нее, то $ \ operatorname {rank} (B) \ ge | S | $, что доказывает, что $ R (G) \ ge \ alpha (G) $.

Наконец, чтобы избавиться от всякой надежды на доказательство неравенства $ R (G) \ le \ alpha (G) $, мы показываем, что $ R (C_5)> \ alpha (C_5) $. Мы знаем, что $ \ alpha (C_5) = 2 $. Между тем, любая матрица $ B $, подходящая для $ C_5 $, должна иметь структуру

$$ \ begin {bmatrix} а & & 0 & 0 & \\ & b & & 0 & 0 \\ 0 & & c & & 0 \\ 0 & 0 & & d & \\ & 0 & 0 & & e \ end {bmatrix} $$ где пустые записи еще не определены, но записи $ a, b, c, d, e \ ne 0 $.У этого не может быть ранга $ 1 $, потому что $ R (C_5) \ ge \ alpha (C_5) \ ge 2 $. Но он имел бы ранг $ 1 $, если бы любые два соседних столбца были кратны друг другу. Поэтому некоторые два соседних столбца — без ограничения общности, первые два — линейно независимы.

Но четвертый столбец также линейно независим от первых двух столбцов, потому что в нем $ d \ ne 0 $ в четвертой записи, а в первых двух столбцах там есть ноль. Таким образом, ранг этой матрицы не менее $ 3 $, а $ R (C_5) \ ge 3 $. Для полноты картины $ R (C_5) = 3 $, поскольку мы можем достичь ранга $ 3 $ с помощью матрицы $$ \ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \ end {bmatrix}.

$

Ранг матрицы | Реальная статистика с использованием Excel

Определение 1 : ранг матрицы A , обозначенный ранг ( A ), является максимальным количеством независимых строк в A .

Наблюдение : Здесь мы рассматриваем каждую строку в матрице A как вектор-строку. Таким образом, ранг ( A ) = размер диапазона набора строк в A (см. Определение 2 линейных независимых векторов). Для матрицы м × n A , четкое ранжирование ( A ) ≤ м .

Получается, что ранг матрицы A также равен рангу столбца, то есть максимальному количеству независимых столбцов в A (на Свойство 1). Таким образом, если A является матрицей m × n , то ранг ( A ) ≤ min ( m , n ). Это также означает, что ранг ( A ) = размер диапазона строк в A = размер диапазона столбцов в A (см. Определение 3 линейных независимых векторов).

Свойство 1 : для любой матрицы A ранг ( A ) = максимальное количество независимых столбцов в A .

Доказательство: Пусть A будет матрицей m × n и пусть p = ранг столбца A , то есть максимальное количество независимых векторов-столбцов в A . Теперь пусть C ₁ ,…, C _p будет любой основой для диапазона векторов-столбцов в A . Таким образом, любой столбец A _j в A может быть однозначно выражен как линейная комбинация базисных элементов, и поэтому существует b _ij , такое что A _i =. Таким образом, A = CB , где C — матрица m × p , столбцы которой равны C ₁ ,…, C _p и B = [ b _ij ], матрица p × n .

Поскольку A = CB , каждая строка в A может быть выражена как линейная комбинация строк в B , а именно. Это означает, что диапазон строк в A является подмножеством диапазона строк в B , а ранг ( A ) ≤ ранг ( B ) ≤ p = ранг столбца A .

Применяя аналогичный аргумент к A ^T , мы заключаем, что ранг ( A ^T ) ≤ ранг столбца A ^T . Но явно ранг ( A ^T ) = ранг столбца A и ранг столбца A ^T = ранг ( A ). Таким образом, мы заключаем, что ранг столбца A ≤ ранг ( A ). Объединение обоих выводов вместе доказывает, что ранг ( A ) = ранг столбца A .

Наблюдение : Поскольку каждое из преобразований, описанных в Свойстве 9 одновременных линейных уравнений (т. Е. Преобразование методом исключения Гаусса) не изменяет количество независимых строк в матрице, ранг матрицы A равен количество ненулевых строк, оставшихся после применения исключения Гаусса.

Свойство 2 : Квадратная матрица n × n является обратимой тогда и только тогда, когда ее ранг равен n .

Доказательство: как было замечено непосредственно перед примером 9 в одновременных линейных уравнениях, мы можем использовать метод исключения Гаусса, чтобы инвертировать квадрат n × n матрица A. Процедура производит обратное тогда и только тогда, когда ранг A. — это n .

Наблюдение : Это означает, что квадратная матрица A обратима тогда и только тогда, когда ее строки линейно независимы. Поскольку квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда ее транспонирование обратимо, это также означает, что матрица обратима тогда и только тогда, когда ее столбцы линейно независимы.

Наблюдение : Поскольку метод исключения Гаусса сохраняет ранг матрицы, мы можем повторить выводы, сделанные в разделе «Одновременные линейные уравнения» относительно решений одновременных линейных уравнений в следующем свойстве.

Свойство 3 : для матрицы m × n A и m × 1 вектор-столбец C , если ранг ( A | C ) = ранг ( A ) = n тогда уравнение AX = C имеет единственное решение.Если ранг ( A | C ) = ранг ( A ) < n существует бесконечное количество решений, а если ранг ( A | C )> ранг ( A ), решений нет.

В случае, когда C = 0, AX = 0 имеет уникальное решение, а именно тривиальное решение X = 0, когда rank ( A ) = n и бесконечное количество решений в противном случае .

Свойство 4 : Следующие значения эквивалентны для матрицы n × n A :

• A является обратимым
• det A ≠ 0
• X = 0 — это единственное решение AX = 0
• AX = C имеет уникальное решение для всех векторов n × 1 C
• rank ( A ) = n

Доказательство: Это сочетание свойств 2 и 3 и свойства 4 детерминантов и одновременных линейных уравнений.

Наблюдение : обратите внимание, что если AX = C имеет уникальное решение для некоторого вектора-столбца n × 1 C , то по свойству 3 ранг ( A ) = n и так по свойству 2, A обратимый. И наоборот, если A обратимо, то для любого вектора-столбца n × 1 C , X = A ^-1 C является уникальным решением для AX = C .

Наблюдение : Поскольку матрица n × n A обратима тогда и только тогда, когда rank ( A ) = n , из следствия 4 линейных независимых векторов следует, что строки в A образуют основу для набора всех 1 × n векторов-строк.Точно так же столбцы в A образуют основу для набора всех векторов-столбцов n × 1.

Свойство 5 : Для квадратной матрицы A , если существует матрица B , такая, что AB = I или BA = I , тогда A является обратимым, а A ^-1 = В .

Доказательство: сначала предположим, что существует квадратная матрица B такая, что BA = I .Теперь, если AX = 0, то X = IX = ( BA ) X = B ( AX ) = B 0 = 0. Это показывает, что AX = 0 имеет только тривиальное решение: X = 0, что согласно свойству 4 означает, что A, является обратимым, а A ^-1 существует. Таким образом, B = BI = B ( AA ^-1 ) = ( BA ) A ^-1 = IA ^-1 = A ^-1 , и поэтому B = A ^-1

Теперь предположим, что вместо этого AB = I .По приведенному выше результату мы заключаем, что B обратимо и A = B ^-1 . Но тогда AB = I = BA , и согласно определению 5 матричных операций, A обратимо, а A ^-1 = B .

Функция реальной статистики : Пакет ресурсов реальной статистики предоставляет следующую функцию:

MRANK (R1, prec ) = ранг матрицы, указанной в диапазоне R1.Функция обрабатывает числа меньше или , как если бы они были равны нулю. Если Prec опущен, по умолчанию используется 0,00001.

Определение 2 : Диапазон матрицы A — это набор векторов-столбцов C , для которых существует решение уравнения AX = C . Нулевое пространство A — это набор решений уравнения AX = 0.

Наблюдение : Диапазон A — это просто диапазон набора столбцов в A .Таким образом, ранг A — это размер диапазона A . Квадратная матрица n × n обратима тогда и только тогда, когда ранг A равен n тогда и только тогда, когда размерность нулевого пространства равна 0 (т.е. вектор 0 является единственным решением уравнения AX = 0).

Ранжируйте фрейм данных в python pandas — (мин., Макс., Плотный и ранжируйте по группе)

В этом руководстве мы узнаем, как ранжировать фрейм данных в python pandas по возрастанию и убыванию с максимальным значением ранга, минимальным значением ранга, средним значением ранга и плотным рангом.Мы увидим пример для каждого. Мы будем ранжировать фрейм данных по строкам разными методами

В этом уроке мы будем иметь дело со следующими примерами

• Ранжируйте фрейм данных по возрастанию и убыванию
• Ранжируйте фрейм данных по плотному рангу, если найдены 2 одинаковых значения
• Оцените фрейм данных по максимальному рангу, если найдены 2 одинаковых значения
• Ранжируйте фрейм данных по минимальному рангу, если найдено 2 одинаковых значения
• Ранжируйте фрейм данных по группам

Создать фрейм данных:

импортировать панд как pd
импортировать numpy как np

#Create a DataFrame
d = {
«Имя»: [«Алиса», «Бобби», «Катрин», «Алиса», «Бобби», «Катрин»,
«Алиса», «Бобби», «Катрин», «Алиса», «Бобби», «Катрин»],
«Предмет»: [«Математика», «Математика», «Математика», «Наука», «Наука», «Наука»,
«История», «История», «История», «Экономика», «Экономика», «Экономика»],
«Оценка»: [62,47,55,74,31,77,85,63,42,62,89,85]}

df = pd. DataFrame (d, columns = ['Имя', 'Тема', 'Оценка'])
df

 

Результирующий фрейм данных будет

Ранжирование фрейма данных в python pandas в порядке возрастания:

Теперь давайте ранжируем фрейм данных в порядке возрастания баллов, как показано ниже

# Рейтинг по возрастанию баллов

df ['score_ranked'] = df ['Score']. rank (по возрастанию = 1)
df
 

, поэтому результат будет

Ранжирование фрейма данных в python pandas в порядке убывания:

ранжирует фрейм данных в порядке убывания оценки, как показано ниже

# Рейтинг по убыванию рейтинга

df ['score_ranked'] = df ['Score'].ранг (по возрастанию = 0)
df
 

, поэтому результат будет

Оцените фрейм данных в python pandas по минимальному значению ранга

ранжирует фрейм данных в порядке убывания оценки, и если обнаружено, что две оценки совпадают, присвойте минимальный рейтинг обеим оценкам, как показано ниже

# Рейтинг баллов в порядке убывания минимального значения

df ['score_ranked'] = df ['Score'].  rank (ascending = 0, method = 'min')
df
 

в этом примере результат 62 найден дважды и ранжируется по минимальному значению 7

, поэтому результат будет

Оцените фрейм данных в python pandas по максимальному значению ранга

ранжирует фрейм данных в порядке убывания оценки, и если обнаружено, что две оценки совпадают, присвойте максимальный ранг обеим оценкам, как показано ниже

# Рейтинг результатов в порядке убывания максимального значения

df ['score_ranked'] = df ['Score'].ранг (по возрастанию = 0, метод = 'макс')
df
 

В этом примере результат 62 найден дважды и ранжируется по максимальному значению 8

, поэтому результат будет

Оцените фреймворк в python pandas по плотному рангу

ранжирует фрейм данных в порядке убывания оценок, и если обнаружено, что две оценки совпадают, присваивают одинаковый ранг. Плотный ранг не пропускает ни одного ранга (в мин. И макс. Рангах пропускаются)

# Рейтинг в порядке убывания плотностью

df ['score_ranked'] = df ['Score'].ранг (по возрастанию = 0, метод = 'плотный')
df
 

, поэтому результат будет

Рейтинг фрейма данных в python pandas по группе

ранжирует фрейм данных в порядке убывания оценок по предметам. поэтому ранжирование осуществляется по предметам

# Рейтинг по группе

df ["group_rank"] = df.groupby ("Тема") ["Оценка"]. rank (ascending = 0, method = 'density')
df
 

, поэтому результат будет

Ранговая функция в R — DataScience Made Simple

Функция

rank () в R возвращает ранги значений в векторе.Функция rank в R также обрабатывает связи и пропущенные значения несколькими способами. Ранг вектора с NA. Мин. Ранг, Макс. Ранг, последний ранг и средний ранг в R. Функция ранга () в R возвращает ранг столбца в R. Мы также можем вычислить минимальный и максимальный ранг столбца в кадре данных R.

• Ранжируйте вектор в R по убыванию, по минимальному рангу, максимальному рангу, первому рангу, последнему рангу и среднему из двух рангов, если два значения совпадают
• Ранжируйте фрейм данных в R по возрастанию и убыванию
• Ранжируйте столбец фрейма данных по минимальному рангу, если найдено 2 одинаковых значения
• Оцените фрейм данных по максимальному рангу, если найдены 2 одинаковых значения
• Ранжируйте столбец фрейма данных по первому, последнему и среднему из двух рангов, если обнаружено, что 2 значения совпадают
• Ранжируйте фрейм данных символьного столбца в R с помощью функции rank ().

Синтаксис для функции ранжирования в R:

ранг (x, na.last = TRUE, tie.method = c («среднее», «первое», «случайное», «максимальное», «минимальное»))

x	числовой, символьный или логический вектор
без доп.	Лечение НА. Как обращаться с NAs
стяж. Метод	Обработка галстуков. Как обращаться с галстуками

Функция ранга в R с последними NA:

 x <- c (2,7,1, -17, NA, Inf, 35,21)
ранг (х)
 

по умолчанию NA ранжируются последними, поэтому результат будет

.

[1] 3 4 2 1 8 7 6 5

Функция ранга в R с NA в качестве первого:

НП занимают первые места

 x <- c (2,7,1, -17, NA, Inf, 35,21)
ранг (х, на.last = FALSE) #NA FIRST
 

вывод:

[1] 4 5 3 2 1 8 7 6

Ранговая функция в R с удаленными NA:

НА игнорируются функцией ранга

 x <- c (2,7,1, -17, NA, Inf, 35,21)
rank (x, na.last = NA) #NA удалено
 

вывод:

[1] 3 4 2 1 7 6 5

Ранжируйте вектор в R с NA, ранжируемым как NA:

НП сохраняются и классифицируются как НП по ранговой функции

 x <- c (2,7,1, -17, NA, Inf, 35,21)
ранг (х, на. last = "keep") #NA сохраняется с рангом NA
 

вывод:

[1] 3 4 2 1 NA 7 6 5

Ранговая функция в R со связями = "Среднее":

Среднее значение ранга присваивается элементам вектора при обнаружении связей

 x <- c (2,7,1, -17, NA, Inf, 35,21,7)
rank (x, na.last = ИСТИНА, tie.method = "первый")
 

вывод:

[1] 3,0 4,5 2,0 1,0 9,0 8,0 7,0 6.0 4,5

Ранговая функция в R с Ties = "random":

 x <- c (2,7,1, -17, NA, Inf, 35,21,7)
rank (x, na.last = TRUE, tie.method = "random")
 

вывод:

[1] 3 4 2 1 9 8 7 6 5

Ранговая функция в R с Ties = "max":

Максимальное значение ранга присваивается элементам вектора при обнаружении связей

 x <- c (2,7,1, -17, NA, Inf, 35,21,7)
ранг (х, на. last = ИСТИНА, tie.method = "max")
 

вывод:

[1] 3 5 2 1 9 8 7 6 5

Ранговая функция в R со связями = "мин":

Минимальное значение ранга присваивается элементам вектора при обнаружении связей

 x <- c (2,7,1, -17, NA, Inf, 35,21,7)
rank (x, na.last = TRUE, tie.method = "min")
 

вывод:

[1] 3 4 2 1 9 8 7 6 4

Рейтинг вектора символов в R:

Функция Rank () также может использоваться для ранжирования вектора символов

 y <-c ("a", "h", "e", "d")
ранг (у)
 

вывод:

[1] 1 4 3 2

Ранжируйте столбцы фрейма данных в R

Сначала давайте создадим фрейм данных, как показано ниже

 #### Создать фрейм данных
my_basket = данные. frame (ITEM_GROUP = c («Фрукты», «Фрукты», «Фрукты», «Фрукты», «Фрукты», «Овощи», «Овощи», «Овощи», «Овощи», «Молочные продукты», «Молочные продукты», «Молочный», «Молочный», «Молочный»),
                       ITEM_NAME = c («Яблоко», «Банан», «Апельсин», «Манго», «Папайя», «Морковь», «Картофель», «Бринджал», «Редис», «Молоко», «Творог», «Сыр. »,« Молоко »,« Панир »),
                       Цена = c (100,80,80,90,65,70,60,70,25,60,40,35,50,120))

моя_ корзина
 

, поэтому результирующий фрейм данных будет

Ранжируйте столбец фрейма данных в порядке возрастания R

Ранг столбца «Цена» в порядке возрастания рассчитывается и присваивается столбцу «Рейтинг_цен».в случае одинаковых значений присваивается средний ранг обоих значений, как показано ниже.

###### Ранжируйте столбец фрейма данных в R

my_basket $ Price_rank = ранг (my_basket $ Price)
моя_ корзина
 

, поэтому результирующий фрейм данных с вычисленным рангом будет

Ранжируйте столбец фрейма данных в порядке убывания R

Ранг столбца «Цена» в порядке убывания рассчитывается и присваивается столбцу «Price_rank». в случае одинаковых значений присваивается средний ранг обоих значений, как показано ниже.

###### Ранжируйте столбец фрейма данных в R

my_basket $ Price_rank = ранг (desc (my_basket $ Price))
моя_ корзина
 

, поэтому результирующий фрейм данных с вычисленным рангом будет

Ранжируйте столбец фрейма данных в порядке возрастания с помощью метода случайного ранжирования

Ранг столбца «Цена» в порядке возрастания рассчитывается и присваивается столбцу «Рейтинг_цен». в случае одинаковых значений назначается случайный ранг обоих значений, как показано ниже.

###### Ранжируйте столбец фрейма данных в R

my_basket $ Price_rank = ранг (my_basket $ Price, na.last = TRUE, tie.method = "random")
моя_ корзина
 

, поэтому результирующий фрейм данных с вычисленным рангом будет

Ранжируйте столбец фрейма данных в порядке возрастания с помощью метода максимального ранжирования

Ранг столбца «Цена» в порядке возрастания рассчитывается и присваивается столбцу «Рейтинг_цен». в случае одинаковых значений максимальный ранг обоих значений в случае ничьей присваивается, как показано ниже.

###### Ранжируйте столбец фрейма данных в R

my_basket $ Price_rank = ранг (my_basket $ Price, na.last = TRUE, tie.method = "max")
моя_ корзина
 

, поэтому результирующий фрейм данных с вычисленным рангом будет

Ранжируйте столбец фрейма данных в порядке возрастания с помощью метода минимального ранжирования

Ранг столбца «Цена» в порядке возрастания рассчитывается и присваивается столбцу «Рейтинг_цен». в случае одинаковых значений, минимальный ранг обоих значений в случае ничьей присваивается, как показано ниже.

###### Ранжируйте столбец фрейма данных в R

my_basket $ Price_rank = ранг (my_basket $ Price, na.last = TRUE, tie.method = "min")
моя_ корзина
 

, поэтому результирующий фрейм данных с вычисленным рангом будет

Ранжируйте столбец фрейма данных в порядке возрастания с помощью метода первого ранжирования

Ранг столбца «Цена» в порядке возрастания рассчитывается и присваивается столбцу «Рейтинг_цен». в случае одинаковых значений, первый ранг присваивается первому значению в случае, если ничьи назначаются, как показано ниже.

###### Ранжируйте столбец фрейма данных в R

my_basket $ Price_rank = ранг (my_basket $ Price, na.last = TRUE, tie.method = "first")
моя_ корзина
 

, поэтому результирующий фрейм данных с вычисленным рангом будет

Ранжируйте столбец фрейма данных в порядке возрастания с помощью последнего метода ранжирования

Ранг столбца «Цена» в порядке возрастания рассчитывается и присваивается столбцу «Рейтинг_цен». в случае одинаковых значений, последний ранг присваивается первому значению в случае, если равны, как показано ниже.

###### Ранжируйте столбец фрейма данных в R

my_basket $ Price_rank = ранг (my_basket $ Price, na.last = TRUE, tie.method = "last")
моя_ корзина
 

, поэтому результирующий фрейм данных с вычисленным рангом будет

Ранжируйте символьный столбец фрейма данных в R

Ранг столбца «ITEM_NAME» в порядке возрастания вычисляется и присваивается столбцу «ITEM_NAME_ALphabet_RANK».

###### Ранжируйте столбец фрейма данных в R

my_basket $ ITEM_NAME_ALphabet_RANK = ранг (my_basket $ ITEM_NAME)
моя_ корзина
 

, поэтому результирующий фрейм данных с вычисленным рангом будет

Pandas DataFrame: функция rank () - w3resource

Последнее обновление 29 апреля 2020 12:38:57 (UTC / GMT +8 часов)

DataFrame - функция rank ()

Функция rank () используется для вычисления рангов числовых данных (от 1 до n) вдоль оси.

По умолчанию равным значениям присваивается ранг, который представляет собой среднее значение рангов этих значений.

Синтаксис:

 DataFrame.rank (self, axis = 0, method = 'average', numeric_only = None, na_option = 'keep', ascending = True, pct = False) 

Параметры:

Имя	Описание	Тип / значение по умолчанию	Обязательно / Дополнительно
ось	Индекс прямого рейтинга.	{0 или «индекс», 1 или «столбцы»} Значение по умолчанию: 0	Требуется
метод	Как ранжировать группу записей, имеющих одинаковое значение (т. Е. Связи): среднее: средний ранг группы мин: самое низкое место в группе max: высшее место в группе первый: ранги назначаются в порядке их появления в массиве плотный: как "мин", но ранг всегда увеличивается на 1 между группами	{«средний», «минимальный», «максимальный», «первый», «плотный»} Значение по умолчанию: «средний»	Требуется
numeric_only	Для объектов DataFrame ранжируйте только числовые столбцы, если установлено значение True.	булев	Дополнительно
на_опция	Как ранжировать значения NaN: keep: присвоить рейтинг NaN значениям NaN вверху: присвоить наименьший ранг значениям NaN при возрастании снизу: присвоить наивысший ранг значениям NaN при возрастании	{«keep», «top», «bottom»} Значение по умолчанию: «keep»	Требуется
по возрастанию	Следует ли ранжировать элементы в порядке возрастания.	bool Значение по умолчанию: True	Требуется
пкт	Показывать или нет возвращаемые рейтинги в процентильной форме.	bool Значение по умолчанию: False	Требуется

Возвращает: того же типа, что и вызывающий
Возвращает серию или DataFrame с ранжированием данных как значений.

Пример:

Загрузите указанный выше блокнот с номера здесь .

Предыдущая: DataFrame - функция quantile ()
Следующая: DataFrame - функция round ()

Matrix Rank

Этот урок знакомит с концепцией матрицы с рангом и объясняет, как ранг матрица раскрывается его эшелонированная форма.

Ранг матрицы

Матрицу r x c можно представить как набор строк r векторы, каждая имеет c элемента; или вы можете думать об этом как о наборе c векторы-столбцы, каждый из которых содержит r элемента.

Ранг матрицы определяется как (а) максимальное количество линейно независимых столбца вектора в матрице или (б) максимальное количество линейно независимых строк векторов в матрице.Оба определения эквивалентны.

Для матрицы r x c ,

• Если r меньше c , то максимальный ранг матрицы это r .
• Если r больше c , то максимальный ранг матрицы это c .

Ранг матрицы был бы равен нулю, только если бы матрица не имела элементов. Если бы матрица имела хотя бы один элемент, ее минимальный ранг был бы равен единице.

Как найти ранг матрицы

В этом разделе мы описываем метод определения ранга любой матрицы.Этот метод предполагает знакомство с эшелонированные матрицы и эшелонные преобразования.

Максимальное количество линейно независимых векторов в матрице равно к количеству ненулевых строк в его матрица эшелонов строк. Следовательно, чтобы найти ранг матрицы, мы просто преобразовать матрицу к ее форме эшелона строк и подсчитать количество ненулевые строки.

Рассмотрим матрицу A и ее эшелон строк. матрица, A _ref . Ранее мы показывали как найти форму эшелона строк для матрицы A .

Потому что форма эшелона строки A _ref имеет две ненулевые строки, мы знаем, что матрица A имеет два независимых вектора-строки; и мы знаем, что ранг матрицы A равен 2.

Вы можете убедиться, что это правильно. Ряд 1 и Ряд 2 матрицы A линейно независимый. Однако строка 3 - это линейная комбинация строк 1 и 2. В частности, строка 3 = 3 * (строка 1) + 2 * (строка 2). Следовательно, матрица A имеет только два независимых вектора-строки.

Матрицы полного ранга

Когда все векторов в матрице линейно независимый, матрица называется с полным рангом . Рассмотрим матрицы A и B ниже.

Обратите внимание, что строка 2 матрицы A является скалярным кратным ряд 1; то есть строка 2 равна удвоенной строке 1. Следовательно, строки 1 и 2 являются линейно зависимый. Матрица А имеет только одну линейно независимую строка, поэтому ее ранг равен 1. Следовательно, матрица A не имеет полного ранга.

Теперь посмотрим на матрицу B . Все его строки линейно Независимо, поэтому ранг матрицы B равен 3. Матрица B полноразмерная.

Проверьте свое понимание

Проблема 1

Рассмотрим матрицу X , показанную ниже.

Какое у него звание?

(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4

Решение

Правильный ответ (C). Поскольку в матрице больше нуля элементов, его ранг должен быть больше нуля. И поскольку в нем меньше строк, чем столбцов, его максимальный ранг равен максимальному количеству линейно независимые строки. И поскольку ни одна строка не зависит линейно от другой строки, матрица имеет 2 линейно независимых строки; поэтому его ранг равен 2.

Задача 2

Рассмотрим матрицу Y , показанную ниже.

Какое у него звание?

(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4

Решение

Правильный ответ (C).Поскольку в матрице больше нуля элементов, его ранг должен быть больше нуля. И поскольку в нем меньше столбцов, чем строк, его максимальный ранг равен максимальному количеству линейно независимых столбцы.

Столбцы 1 и 2 независимы, потому что ни один из них не может быть получен как скалярное кратное другому. Однако столбец 3 линейно зависит от столбцов 1 и 2, потому что столбец 3 равен столбцу 1 плюс столбец 2. Это оставляет матрицу максимум с двумя линейно независимые колонны; это.